欧拉函数、费马小定理与欧拉定理略解

在数论中，对正整数 n，欧拉函数 $\varphi (n)$ 是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为 φ 函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数（totient function，由西尔维斯特所命名）。（来自维基百科）

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本文中 (a,b) 或者 gcd(a,b) 表示a、b的最大公因数。

本文隶属⌈ 数论学习系列 ⌋。

欧拉函数

定义

欧拉函数 $\varphi(n)$ 是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目。例如： $\varphi(10)$ =4，因为在1到10中1、3、7、9 这4个数字与 10 互质。

（注： $\varphi (n)$ 的另一种写法是 $\phi(n)$ ，但是我更喜欢前者……）

几个性质

这两个性质下面证明的时候要用。

当x为质数p的k次幂时

如果 $\varphi(x)$ 中的x是质数 p 的 k 次幂，那么可以用这个公式求：

\displaystyle \varphi (x)=\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}=p^k\cdot (1-\frac 1 p)

很好理解，除了 p 的倍数外，其他数都与 x 互质。（为什么要化成这样？因为后面我们证明 $\varphi (x)$ 的公式要用~）

欧拉函数是积性函数

欧拉函数是积性函数，就是说如果 x 和 y 互质，则

\displaystyle \varphi(xy)=\varphi(x) \varphi(y)=(x-1)(y-1)

（剩下的两个性质就是下面要讲的费马小定理和欧拉定理了）

计算方法（公式）

$\varphi(x)$ 的计算公式是：

\displaystyle \varphi(x)=x(1-\frac 1 {P_1})(1-\frac 1 {P_2})\cdots(1-\frac 1 {P_x})

写得高端点：

\displaystyle \varphi (x)=x\prod_{i=1}^n (1-\frac 1 {P_i})

其中 $P_i$ 表示 $x$ 的第 $i$ 个质因子，上式条件为 $x \geqslant 2$ 且 $x \in Z$ 。

特殊地， $\varphi(1)=1$ 。因为小于等于 1 的正整数中唯一和1互质的数就是 1 本身。

举例

比如说计算 $\varphi(10)$ ：10 的质因子有 2 和 5。那么：

\displaystyle \varphi(10)=10(1-\frac 1 2)(1-\frac 1 5)=4

与前面验证的答案一致~

公式证明

我们先把 $x$ 标准分解：

\displaystyle x=P_1^{k_1} \cdot P_2^{k_2} \cdots P_n^{k_n}

其中 $P_i$ 表示 $x$ 的第 $i$ 个质因子， $k_i$ 则表示x中含有质因子 $P_i$ 的数量。接下来根据“欧拉函数是积性函数”这一性质可以得出：

\displaystyle \varphi(x)=\varphi(P_1^{k_1})\cdot \varphi(P_2^{k_2})\cdots \varphi(P_n^{k_n})

又根据前面推出的 $\varphi (p^k)=p^k\cdot (1-\frac 1 p)$ ，得到：

\displaystyle \varphi(x) = x(1-\frac 1 {P_1})(1-\frac 1 {P_2})\cdots(1-\frac 1 {P_x}) = x\prod_{i=1}^n (1-\frac 1 {P_i})

就得到了刚刚的等式！！！

费马小定理

费马小定理（Fermat's Little Theorem）是数论中的一个重要定理，在1636年由费马提出。基本内容是：如果 p 是质数并且 $(a,p)=1$ ，则有：

\displaystyle a^{p-1}\equiv 1 \pmod p

举个例子，对于质数 p=3，a=8，那么：

8^{3-1}\equiv 64\equiv 1 \pmod 3

完全剩余系

为了方便证明，先要普及下完全剩余系的概念：

完全剩余系（简称完系），即是通过对一系列正整数模 m 后产生的从 0 至（m-1）的完全数系。通常地，完全剩余系在研究数论时很有用。

举个例子：{0, 1, 2, 3} 就是模 4 的完系。

知道了完全剩余系，我们就可以方便地开始证明了……

证明

证明其实并不难。

假设 $\lbrace 1,2,\dots,p-1,p \rbrace$ 是模 $p$ 的完全剩余系，那么显然， $\displaystyle \lbrace a-1,a-2,\dots,a-p \rbrace$ 也是模 $p$ 的完全剩余系。得到：

(a-1)(a-2)\cdots(a-(p-1)) \equiv 1 \cdot 2 \cdots (p-1) \pmod p

等价于：

a^{p-1}\cdot (p-1)! \equiv (p-1)! \pmod p

又 $((p-1)!,p)=1$ ，所以

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p

欧拉定理

欧拉定理（Euler's Theorem）可以看作费马小定理的一般情况，即如果 $(a,n)=1$ ，则 $a,n$ 满足：

a^{\varphi (n)}\equiv 1 \pmod n

举例： $n=6,a=5$ ： $\varphi(6)=2$ ；

\displaystyle 5^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod 6

显然当 $n$ 是质数的时候 $\varphi(n)=n-1$ ，就成了费马小定理了……

减缩剩余系

在证明之前又要普及一下减缩剩余系的概念了……

简缩剩余系（也叫简化剩余系，简称减系或者缩系）：在每个剩余类选取至 1 个与 m 互素代表元构成简缩剩余系。举个例子：

10 的完系是：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；
则 {1,2,5,6} 是 10 的一个减系。也就是说从完系里选几个数。要注意不一定是从这个固定的完系里选，例如 {10,14,15} 也是 10 的一个减系。

证明

这个定理证明和费马小定理类似：

假设 $\lbrace x_1,x_2,\dots,x_{\varphi (n)} \rbrace$ 是模 $p$ 的减缩剩余系，那么：

\displaystyle x_i \not ≡ x_j \pmod n

又 $(a,n)=1$ ，所以

ax_i \not ≡ ax_j \pmod n

所以 $\displaystyle \lbrace ax_1,ax_2,\dots,ax_{\varphi (n)} \rbrace$ 也是模 $p$ 的减缩剩余系。所以：

(ax_1)(ax_2)\cdots(ax_{\varphi (n)}) \equiv x_1 \cdot x_2 \cdots x_{\varphi (n)} \pmod n

上式等价于：

a^{\varphi(n)}(x_1 \cdot x_2 \cdots x_{\varphi (n)}) \equiv x_1 \cdot x_2 \cdots x_{\varphi (n)} \pmod n

即：

a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n

参考

欧拉函数 - 维基百科，自由的百科全书
 费马小定理 - 维基百科，自由的百科全书
 完全剩余系 - 维基百科，自由的百科全书
 欧拉定理 (数论) - 维基百科，自由的百科全书
 费马小定理_百度百科
 欧拉函数 - handsomecui - 博客园

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