欧拉函数 φ(n) 的几个常用性质

之前我们已经知道欧拉函数 $\varphi(n)$ 的计算公式：

\displaystyle \varphi (n)=n \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i})

我们还知道它的两条性质：
如果 $\varphi(x)$ 中的x是质数 p 的 k 次幂，那么 $\displaystyle \varphi (x)=\varphi (p^k)=(p-1)p^{k-1}$ ；
欧拉函数是积性函数，如果 x 和 y 互质，则 $\varphi(xy)=\varphi(x) \varphi(y)=(x-1)(y-1)$ 。

今天我们要证明上述性质，再介绍几条新的性质。

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本文中 (a,b) 或者 gcd(a,b) 表示a、b的最大公因数。

本文隶属⌈ 数论学习系列 ⌋。
本文是欧拉函数、费马小定理与欧拉定理详解一文的补充。建议先阅读后者。

当 x 为质数 p 的 k 次幂时

$\varphi(x)$ 中的 x 是质数 p 的 k 次幂时：

\displaystyle \varphi (x)=\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}

证明：小于等于 $p^k$ 的正整数个数为 $p^k$ 个，
其中和 $p$ 不互质的正整数有： $1 \ast p, 2 \ast p, \dots ,r \ast p$ 。
显然可以得到： $r=\frac {p^k} {p}-1 = p^{k-1}$ 。剩下的就是与 $p$ 互质的。
那么就得到了： $\varphi (n)=p^k-p^{k-1}$ 。

欧拉函数是积性函数

\displaystyle \varphi(nm)=\varphi (n) \ast \varphi (m),(n,m)=1

证明：要证明这个公式，我们可以画张表：

\displaystyle \begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & r & \cdots & m \\ m+1 & m+2 & \cdots & m+r & \cdots & 2m \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ (n-t)m+1 & (n-t)m+2 & \cdots & (n-t)m+r & \cdots & (n-t+1)m \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ (n-1)m+1 & (n-1)m+2 & \cdots & (n-1)m+r & \cdots & nm \\ \end{matrix}

在这张表里，每行都是一个模 n 的完全剩余系，其中有 $\varphi(n)$ 个与 n 互质的数字；每列都是一个模 m 的完全剩余系，其中有 $\varphi (m)$ 个与 m 互质的数字。一个数字要和 nm 互质，那么它就要和 n 互质又和 m 互质。那么一共就有 $\varphi(n)\varphi(m)$ 个与 nm 互质的数字，也就是说 $\varphi (nm)=\varphi(n)\varphi(m)$ 。

当 n 为奇数时

当 n 为奇数时， $\varphi (2 \ast n)=\varphi (n)$ 。

证明：很显然， $\varphi(2\ast n)=\varphi(2) \ast \varphi(n)=\varphi(n)$ 。

p 整除 n/p 时

\varphi(n)=\varphi(n/p)\ast p \text{，当 }p|(n/p) 。

证明：因为 $p|(n/p)$ ，所以 n 和 n/p 有相同的质因子，即 $r_1=r_2$ 并且 $\forall p_i=p_j$ 。于是：

\displaystyle \varphi (n/p)=n/p \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i}) \\ \varphi (n)=n \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i})= p \ast n/p \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i}) = p\ast \varphi(n/p)

φ(n)=φ(n/p)*(p-1)

当 $(p,n/p)=1$ ，并且 $p$ 是质数时。

\varphi(n)=\varphi(n/p)\ast(p-1)

证明：因为 p 是质数，所以 $\varphi(p)=p-1$ 。则：

\varphi(n/p)\ast(p-1) = \varphi(n/p)\ast \varphi(p) =\varphi(n)

n 的所有因子欧拉函数之和为 n

\displaystyle \sum_{d|n} \varphi(d)=n

证明：设 $\displaystyle f(n) = \sum_{d|n} \varphi(d)$ ，并且 $(n,m)=1$ ，则有：

\displaystyle f(nm)=\sum_{d|nm} \varphi(d)=(\sum_{d|n}\varphi(d))\ast(\sum_{d|m}\varphi(d)) = f(n)\ast f(m)

所以 $f(n)$ 是积性函数。

\displaystyle f(p^m)=\sum_{d|p^m} \varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\dots+\varphi(p^m)=1+(p-1)+(p^2-p)+\dots+(p^m-p^{m-1})=p^m

因此我们可以将 n 进行标准分解，可以得到：

\displaystyle f(n)=\prod_{i=1}^{m} f(p_i^{c_i})=\prod_{i=1}^{m} p_i^{c_i}=n \text{，即 } \displaystyle \sum_{d|n} \varphi(d)=n

参考

欧拉函数公式及其证明_百度文库
 欧拉函数 | GoAway's Blog

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