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Fighting 2019!

在之前我们已经知道乘法逆元的三种求法,对于一般的题目让你把答案模一个质数,如果要求逆元一般用费马小定理,可以在 \Theta (Nlog_2(N)) 时间内构造出 1 到 N 的逆元:inv(x)=x^{mo-2} \bmod mo。但是对于 10^7 级别的 N,这样的求法就显得有点慢。能不能在 \Theta (N) 时间内递推出 inv(x) 呢?

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之前我们已经知道欧拉函数 \varphi(n) 的计算公式:

\displaystyle \varphi (n)=n \ast \prod_{i-1}^{r} (\frac {p_i-1} {p_i})

我们还知道它的两条性质:
如果\varphi(x)中的x是质数 p 的 k 次幂,那么 \displaystyle \varphi (x)=\varphi (p^k)=(p-1)p^{k-1}
欧拉函数是积性函数,如果 x 和 y 互质,则 \varphi(xy)=\varphi(x) \varphi(y)=(x-1)(y-1)

今天我们要证明上述性质,再介绍几条新的性质。

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